O enunciado pede para calcular seis integrais envolvendo raízes quadradas: três definidas e três indefinidas. Vamos usar principalmente substituições trigonométricas (ou hiperbólicas) para tratar expressões do tipo e identidades de funções trigonométricas. Em cada caso identificamos a forma da integral, escolhemos a substituição apropriada, calculamos a antiderivada e, quando for definida, usamos os limites.
Passo 2
Para
fazemos , , . Os limites viram a . A integral fica
Avaliação:
Passo 3
Para
usamos , , . Os limites vão de a . Logo
Isso dá
252l(raiz2+ln(raiz2+1)r)
Passo 4
Para
fazemos , , . Os limites vão de a . A integral se transforma em
e, usando as antiderivadas
e ,
obtém-se
Passo 5
Para
integralx^2raiz9-4x^2,dx
usamos x=tfrac32sintheta, dx=tfrac32costheta,dtheta, raiz9-4x^2=3costheta. A integral vira