Calcule as seguintes integrais:
ll integral0^1 raiz4-x^2 d x & integral0^5 raizx^2+25 d x integral2^4 raizx^2-4 d x & integral x^2raiz9-4 x^2 d x integral 1t^4 raiz1-t^2 d t & integral x^2raizx^2-2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular seis integrais envolvendo raízes quadradas: três definidas e três indefinidas. Vamos usar principalmente substituições trigonométricas (ou hiperbólicas) para tratar expressões do tipo raiza^2pm x^2 e identidades de funções trigonométricas. Em cada caso identificamos a forma da integral, escolhemos a substituição apropriada, calculamos a antiderivada e, quando for definida, usamos os limites.

Passo 2

Para
integral0^1raiz4-x^2,dx
fazemos x=2sintheta, dx=2costheta,dtheta, raiz4-x^2=2costheta. Os limites viram theta=0 a theta=arcsin(1/2)=pi/6. A integral fica
integral0^pi/62costhetacdot2costheta,dtheta =4integral0^pi/6cos^2theta,dtheta =4integral0^pi/61+cos2theta2,dtheta =2l[theta+tfrac12sin2thetar]0^pi/6
Avaliação:
2l(tfracpi6+tfrac12sinpi3r) =2l(tfracpi6+tfrac12cdottfracraiz32r) =pi3+raiz32

Passo 3

Para
integral0^5raizx^2+25,dx
usamos x=5tantheta, dx=5sec^2theta,dtheta, raizx^2+25=5sectheta. Os limites vão de theta=0 a theta=arctan(1)=pi/4. Logo
integral0^pi/45secthetacdot5sec^2theta,dtheta =25integral0^pi/4sec^3theta,dtheta =25cdot12l[secthetatantheta+lnl|sectheta+tanthetar|r]0^pi/4
Isso dá
252l(raiz2+ln(raiz2+1)r)

Passo 4

Para
fazemos , , . Os limites vão de a . A integral se transforma em
e, usando as antiderivadas

e
,
obtém-se

Passo 5

Para
integralx^2raiz9-4x^2,dx
usamos x=tfrac32sintheta, dx=tfrac32costheta,dtheta, raiz9-4x^2=3costheta. A integral vira
integrall(tfrac32sinthetar)^23costhetacdottfrac32costheta,dtheta =278integralsin^2theta,dtheta =278integral1-cos2theta2,dtheta =2716l[theta-tfrac12sin2thetar]+C
Voltando a x:
theta=arcsinl(tfrac2x3r), sin2theta=4xraiz9-4x^29,
resultando em
2716arcsin!l(tfrac2x3r) -3xraiz9-4x^28+C

Passo 6

Para
integral1t^4raiz1-t^2,dt
fazemos t=sin u, dt=cos u,du, raiz1-t^2=cos u. A integral vira
integralcos usin^4 ucdotcos u,du =integralcsc^4 u,du =integral(csc^2u+csc^2ucot^2u),du
Usando
integralcsc^2u,du=-cot u e
integralcsc^2ucot^2u,du=-tfrac13cot^3u,
temos
-cot u-tfrac13cot^3u+C ;=; -1+2t^23t^3raiz1-t^2+C

Passo 7

Para
integralx^2raizx^2-2,dx
usamos x=raiz2sectheta, dx=raiz2secthetatantheta,dtheta, raizx^2-2=raiz2tantheta. A integral fica
integral2sec^3theta,dtheta = secthetatantheta+lnl|sectheta+tanthetar|+C
Voltando a x:
sectheta=xraiz2, tantheta=raizx^2-2raiz2,
obtém-se
xraizx^2-22 +lnl|x+raizx^2-2r|+C

Resposta

integral0^1raiz4-x^2,dx =pi3+raiz32,
integral0^5raizx^2+25,dx =252l(raiz2+ln(raiz2+1)r),
integral2^4raizx^2-4,dx =4raiz3-2ln(2+raiz3),
integralx^2raiz9-4x^2,dx =2716arcsin!l(2x3r) -3xraiz9-4x^28+C,
integral1t^4raiz1-t^2,dt =-1+2t^23t^3raiz1-t^2+C,
integralx^2raizx^2-2,dx =xraizx^2-22 +ln!l|x+raizx^2-2r|+C

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