Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
t^2 d xd t+3 t x=t^4 ln t+1, x(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
t^2,dxdt+3,t,x = t^4,ln t + 1, x(1)=0
Este é um EDO de primeira ordem, linear em x(t). Para resolvê-lo, vamos colocá-lo na forma padrão
dxdt + P(t),x = Q(t)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por t^2 (em t>0, pois há ln t), obtemos
dxdt + 3t,x = t^2ln t + t^-2
Aqui P(t)=3/t e Q(t)=t^2ln t + t^-2.

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = exp!l(integral P(t),dtr) = exp!l(integral 3t,dtr) = exp(3ln t) = t^3
Multiplicando a equação padrão por mu(t):
t^3,dxdt + 3,t^2,x = t^3l(t^2ln t + t^-2r) ;Longrightarrow; ddtl(t^3xr) = t^5ln t + t

Passo 4

Agora integramos em relação a t:
t^3x = integrall(t^5ln t + tr),dt = integral t^5ln t,dt + integral t,dt
Para integral t^5ln t,dt use partes com u=ln t, dv=t^5dt, obtendo
integral t^5ln t,dt = t^66ln t - 16integral t^5,dt = t^66ln t - t^636
E
integral t,dt = t^22
Assim,
t^3x = t^66ln t - t^636 + t^22 + C
Logo
x(t) = t^36ln t - t^336 + 12t + C,t^-3

Passo 5

Usamos x(1)=0:
0 = 1^36ln 1 - 1^336 + 12cdot1 + Ccdot1^-3 = 0 - 136 + 12 + C = 1736 + C,
logo C = -tfrac1736.

Resposta

boxed x(t) = t^36ln t ;-;t^336 ;+;12t ;-;1736,t^3

Exercícios relacionados