Secreção de hormônios. A secreção de hormônios no sangue costuma ser uma atividade periódica. Se um hormônio é produzido em um ciclo de 24 horas, então a taxa de mudança de seu nível no sangue pode ser representada pelo PVI
onde
é a quantidade de hormônio no sangue no instante
,
é a taxa de produção média,
é a quantidade de variação diária na produção e
é uma constante positiva refletindo a taxa em que o corpo remove o hormônio do sangue. Se
e
, resolva para
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes e termo forçante periódico
onde usamos
e
. Vamos resolver por fator integrante.
Passo 2
Colocamos na forma padrão
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtém-se
Passo 3
Integramos ambos os lados:
A primeira integral é imediata:
Passo 4
Para a segunda usamos a fórmula
com
e
. Logo
Note que
Portanto
Passo 5
Reunindo tudo:
Dividindo por
:
Aplicando
(em
,
,
):
Passo 6
Substituindo
na expressão geral, a solução é