Secreção de hormônios. A secreção de hormônios no sangue costuma ser uma atividade periódica. Se um hormônio é produzido em um ciclo de 24 horas, então a taxa de mudança de seu nível no sangue pode ser representada pelo PVI
d xd t=alpha-beta cos pi t12-k x, x(0)=x0
onde x(t) é a quantidade de hormônio no sangue no instante t, alpha é a taxa de produção média, beta é a quantidade de variação diária na produção e k é uma constante positiva refletindo a taxa em que o corpo remove o hormônio do sangue. Se alpha=beta=1, k=2 e x0=10, resolva para x(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes constantes e termo forçante periódico
dxdt = 1 - cos!l(tfracpi t12r) - 2x, x(0)=10,
onde usamos alpha=beta=1 e k=2. Vamos resolver por fator integrante.

Passo 2

Colocamos na forma padrão
dxdt + 2x = 1 - cos!l(tfracpi t12r)
O fator integrante é
mu(t) = e^integral 2,dt = e^2t
Multiplicando a equação por mu(t) obtém-se
ddtl(xe^2tr) = e^2tl[1 - cos!l(tfracpi t12r)r]

Passo 3

Integramos ambos os lados:
xe^2t = integral e^2t,dt ;-;integral e^2tcos!l(tfracpi t12r),dt + C
A primeira integral é imediata:
integral e^2t,dt = tfrac12,e^2t

Passo 4

Para a segunda usamos a fórmula
integral e^atcos(bt),dt = e^at,acos(bt)+bsin(bt)a^2+b^2
com a=2 e b=pi12. Logo
integral e^2tcos!l(tfracpi t12r),dt = e^2t, 2cos!l(tfracpi t12r) +pi12sin!l(tfracpi t12r) 4+l(pi12r)^2
Note que
4+l(tfracpi12r)^2 = 576+pi^2144
Portanto
integral e^2tcos!l(tfracpi t12r),dt = e^2t, 288cos!l(tfracpi t12r) +12pisin!l(tfracpi t12r) 576+pi^2

Passo 5

Reunindo tudo:
xe^2t = 12,e^2t - e^2t, 288cos!l(tfracpi t12r) +12pisin!l(tfracpi t12r) 576+pi^2 + C
Dividindo por e^2t:
x(t) = 12 - 288cos!l(tfracpi t12r) +12pisin!l(tfracpi t12r) 576+pi^2 + C,e^-2t
Aplicando x(0)=10 (em t=0, cos0=1, sin0=0):
10 = 12 - 288576+pi^2 + C Longrightarrow C = 10 - 12 + 288576+pi^2

Passo 6

Substituindo C na expressão geral, a solução é
x(t) = 12 - 288cos!l(tfracpi t12r) +12pisin!l(tfracpi t12r) 576+pi^2 +l(10 - tfrac12 + tfrac288576+pi^2r)e^-2t

Resposta

x(t) = 12 - 288cos!l(tfracpi t12r) +12pisin!l(tfracpi t12r) 576+pi^2 +l( tfrac192 + tfrac288576+pi^2r)e^-2t

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