Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
d yd x+3 yx+2=3 x, y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
dydx + 3yx + 2 = 3x, y(1)=1
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos colocá-la na forma padrão
dydx + 3x,y = 3x - 2
e usar fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = exp!gl(integral 3x,dxgr) = exp(3ln|x|) = x^3
Multiplicando a equação por x^3 obtemos
x^3dydx + 3x^2,y = x^3(3x - 2)

Passo 3

O lado esquerdo é a derivada exata de x^3y, pois
ddxl(x^3yr) = x^3dydx + 3x^2y
Logo
ddxl(x^3yr) = 3x^4 - 2x^3
Integrando em relação a x,
x^3y = integral(3x^4 - 2x^3),dx = 35x^5 - 12x^4 + C

Passo 4

Isolando y,
y = 35x^2 - 12x + C,x^-3
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=1:
1 = 35cdot1^2 - 12cdot1 + Ccdot1^-3 = 35 - 12 + C = 110 + C
Isso dá
C = 1 - 110 = 910

Resposta

boxedy(x) = 35x^2 - 12x + 910,x^-3

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