Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
d yd x+4 y-e^-x=0, y(0)=43

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
dydx + 4y - e^-x = 0, y(0)=43
Aqui estamos diante de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para solucioná-la, vamos colocá-la na forma padrão e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocando em forma padrão y' + p(x),y = q(x), temos
p(x)=4, q(x)=e^-x
O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 4,dx = e^4x
Multiplicando a equação original por mu(x), reconhecemos no lado esquerdo a derivada de y,e^4x:
ddxl(y,e^4xr) = e^4x,e^-x = e^3x

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a x:
y,e^4x = integral e^3x,dx = 13,e^3x + C,
onde C é a constante de integração. Logo, a solução geral é
y(x) = 13,e^-x + C,e^-4x

Passo 4

Agora usamos a condição inicial y(0)=tfrac43. Substituindo x=0 em y(x):
43 = 13cdot1 + Ccdot1 Longrightarrow C = 1

Resposta

boxedy(x) = 13,e^-x + e^-4x

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