Calcule as seguintes integrais:
integral(1x+raizx) d x, x>0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a seguinte integral:
integral(1x+raizx) dx, x > 0
Aqui, estamos lidando com integração, que é uma parte da Cálculo. Para resolver essa integral, vamos precisar usar as regras básicas de integração para funções como 1x e raizx.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral 1x , dx + integral raizx , dx
Isso é possível porque a integral da soma é igual à soma das integrais.

Passo 3

Vamos resolver a primeira parte: integral 1x , dx.
A integral de 1x em relação a x é uma das integrais básicas que aprendemos. Sabemos que:
integral 1x , dx = ln|x| + C,
onde ln|x| é o logaritmo natural de x e C é a constante de integração. Como x > 0, podemos simplificar para ln x + C.

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda parte: integral raizx , dx.
Primeiro, reescrevemos raizx como x^12. Assim, temos:
integral x^12 , dx
Para integrar potências de x, usamos a regra do poder, que diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C, onde n neq -1
Aplicando essa regra com n = 12:
integral x^12 , dx = x^12 + 112 + 1 + C = x^3232 + C = 23 x^32 + C
Podemos também escrever x^32 como xraizx, se preferir.

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
integral(1x+raizx) dx = ln x + 23 x^32 + C

Resposta

A integral é igual a ln x + dfrac23 , x^dfrac32 + C.

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