Determine a área do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um triângulo retângulo com catetos de comprimento 3 e 4, considerando que dois lados do retângulo estão sobre os catetos do triângulo. Faça um desenho ilustrando a situação.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente precisa fazer: temos um triângulo retângulo com catetos de comprimentos 3 e 4. Queremos encontrar a área maior possível de um retângulo que está dentro desse triângulo, onde dois lados do retângulo estão exatamente sobre os catetos do triângulo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e matemática de otimização para descobrir qual é o tamanho máximo desse retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o triângulo retângulo com os catetos de 3 e 4 unidades. Vamos posicionar esse triângulo de forma que um cateto esteja na horizontal (base) e o outro na vertical (altura). Agora, vamos desenhar o retângulo dentro desse triângulo, de modo que um lado do retângulo esteja na base do triângulo e outro lado esteja na altura.
Passo 3
Vamos chamar a largura do retângulo de
(que está sobre o cateto de 3) e a altura do retângulo de
(que está sobre o cateto de 4). Nosso objetivo é encontrar as relações entre
e
para expressar a área do retângulo em termos de uma única variável.
Passo 4
Como o retângulo está dentro do triângulo, os lados do retângulo vão até a hipotenusa do triângulo. Podemos usar a semelhança de triângulos para relacionar
e
. A proporção entre os lados dos triângulos semelhantes nos dá:
Passo 5
Resolvendo essa equação para
, temos:
Passo 6
Agora, a área
do retângulo pode ser expressa como:
Passo 7
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, vamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 8
Com
, substituímos na expressão de
:
Resposta
A área máxima do retângulo que pode ser inscrito no triângulo retângulo é de 3 unidades quadradas.