Calcule as seguintes integrais:
integral x^1 / 3 ln (x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^1/3 ln(x) , dx. Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente utilizando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar produtos de funções. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Então, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u e dv.

Passo 3

No nosso caso, temos x^1/3 ln(x). Vamos escolher:
u = ln(x) e dv = x^1/3 , dx
Isso porque derivar ln(x) simplifica para 1/x, e integrar x^1/3 é mais fácil.

Passo 4

Agora, vamos encontrar du e v.
Derivando u = ln(x):
du = 1x , dx
Integrando dv = x^1/3 , dx:
v = integral x^1/3 , dx = 34 x^4/3

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^1/3 ln(x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln(x) cdot 34 x^4/3 - integral 34 x^4/3 cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificando a integral restante:
integral 34 x^4/3 cdot 1x , dx = 34 integral x^4/3 - 1 , dx = 34 integral x^1/3 , dx
Agora, vamos integrar x^1/3.

Passo 7

Integrando x^1/3:
integral x^1/3 , dx = 34 x^4/3
Então, substituindo de volta:
34 integral x^1/3 , dx = 34 cdot 34 x^4/3 = 916 x^4/3

Passo 8

Voltando à nossa expressão anterior:
integral x^1/3 ln(x) , dx = 34 x^4/3 ln(x) - 916 x^4/3 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a 34 x^4/3 ln(x) - 916 x^4/3 + C, onde C é a constante de integração.

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