Determine nabla f, o campo vetorial gradiente de f.
f(x, y)=y sen(x y)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de f, isto é, o campo vetorial formado pelas derivadas parciais de
f(x,y) = y sin(xy)
Vamos usar as regras do produto e da cadeia para calcular partial f/partial x e partial f/partial y.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y como constante e derivamos
sin(xy)
pela cadeia. Como
ddxsin(xy)=cos(xy),ddx(xy)=cos(xy),y,
vem
partial fpartial x = y cdot l(cos(xy),yr) = y^2cos(xy)

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, usamos a regra do produto em
f(x,y)=ycdot sin(xy)
A derivada de y em relação a y é 1, e de sin(xy) pela cadeia é
ddysin(xy)=cos(xy),ddy(xy)=cos(xy),x
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partial fpartial y = 1cdot sin(xy) + ycdotl(cos(xy),xr) = sin(xy) + x,ycos(xy)

Passo 4

O gradiente de f é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais que acabamos de encontrar.

Resposta

nabla f(x,y)=l(y^2cos(xy),;sin(xy)+x,ycos(xy)r)

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