Calcule as seguintes integrais:
integral0^+infty 11+x^2 d x

Passo 1

Vamos entender a questão. Precisamos calcular a integral definida de 0 até +infty de 11+x^2 , dx. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente integrais que resultam em funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a função 11+x^2 é a derivada da função arco-tangente. Ou seja:
ddx arctan(x) = 11+x^2
Isso significa que a antiderivada de 11+x^2 é arctan(x).

Passo 3

Com isso, podemos encontrar a integral indefinida:
integral 11+x^2 , dx = arctan(x) + C
Aqui, C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a +infty:
integral0^+infty 11+x^2 , dx = [ arctan(x) ]0^+infty

Passo 5

Calculamos os valores nos limites:
  • Quando x to +infty, arctan(x) to pi2.
  • Quando x = 0, arctan(0) = 0.

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
pi2

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