Seja an=3 n^2+n+42 n^2-2 n. Cálcule lim n infty an.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a sequência an = 3n^2 + n + 42n^2 - 2n e precisa calcular o limite dela quando n tende ao infinito. Isso está dentro do assunto de limites de sequências, especificamente lidando com frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos de maior grau no numerador e denominador dominam o comportamento da sequência quando n fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é 3n^2 e no denominador é 2n^2 . Quando n cresce, esses termos são os que mais influenciam o valor da fração.

Passo 3

Agora, para facilitar o cálculo do limite, vamos dividir todos os termos do numerador e do denominador por n^2 , que é o maior grau presente nas duas partes. Assim, temos:
an = 3n^2 + n + 42n^2 - 2n = 3n^2n^2 + nn^2 + 4n^22n^2n^2 - 2nn^2
Simplificando cada termo:
an = 3 + 1n + 4n^22 - 2n

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando n tende ao infinito. Lembre-se que:
  • 1n tende a 0 quando n cresce.
  • 4n^2 também tende a 0.
  • O mesmo vale para 2n no denominador.
Então, substituindo esses limites, a expressão fica:
limn to infty an = 3 + 0 + 02 - 0 = 32

Resposta

O limite da sequência an quando n tende ao infinito é 32 .

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