Seja an=[ln (n)]^5n^9. Cálcule lim n infty an.

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = [ln(n)]^5n^9
e pede limntoinftyan. O conteúdo principal aqui é a comparação entre crescimento de potências de logaritmo e de potências de n: sabemos que n^9 cresce muito mais rápido que [ln(n)]^5.

Passo 2

Para explorar isso, escrevemos an em termos de exponencial. Note que
an = expl(ln(an)r) e ln(an) = lnl([ln(n)]^5r) - lnl(n^9r)
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ln(an) = 5,lnl(ln(n)r) ;-; 9,ln(n)

Passo 3

Agora analisamos o comportamento de
5,lnl(ln(n)r) ;-; 9,ln(n)
quando ntoinfty. Como ln(n)toinfty e ln(ln(n)) cresce muito mais devagar que ln(n), o termo -9,ln(n) domina, e portanto
5,lnl(ln(n)r) - 9,ln(n);longrightarrow;-infty

Passo 4

Se ln(an)to-infty, então
an = expl(ln(an)r) ;longrightarrow; exp(-infty) = 0

Resposta

limntoinftyan = 0

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