Calcule as seguintes integrais:
integral2^+infty 1x^2-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral2^+infty1x^2-1,dx
O conteúdo envolvido é integração de função racional em um intervalo não limitado superiormente, usando decomposição em frações parciais e limite.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1x^2-1 =1(x-1)(x+1) =12l(1x-1-1x+1r)
Logo para R>2,
integral2^R1x^2-1,dx =12integral2^Rl(1x-1-1x+1r),dx =12l[ln|x-1|-ln|x+1|r]2^R

Passo 3

Avaliaremos o limite quando Rto+infty:
limRto+inftyl(ln|R-1|-ln|R+1|r) =limRto+inftylnR-1R+1 =ln 1=0
Portanto
integral2^+infty1x^2-1,dx =12l(0-l[ln|2-1|-ln|2+1|r]r) =-12ln13 =12ln 3

Resposta

integral2^+infty1x^2-1,dx =12ln 3

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