Seja an=3 n^22 n^3+2. Cálcule lim n infty an.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão nos pede para calcular limn infty an, onde an = 3n^22n^3 + 2. Aqui, estamos lidando com limites de sequências envolvendo polinômios. Para resolver isso, vamos precisar identificar os termos com maiores potências no numerador e no denominador e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, olhamos para os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, temos 3n^2 e no denominador 2n^3. O termo de maior grau no denominador é 2n^3, que tem grau 3, enquanto no numerador o maior é 3n^2, com grau 2.

Passo 3

Agora, para simplificar a expressão, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo maior termo de n que aparece no denominador, que é n^3. Isso nos ajuda a identificar o comportamento da sequência conforme n fica muito grande.

Passo 4

Dividindo cada termo por n^3, temos:
an = 3n^22n^3 + 2 = 3n^2/n^32n^3/n^3 + 2/n^3 = 3/n2 + 2/n^3

Passo 5

Agora, observamos o que acontece quando n tende ao infinito. Os termos 3n e 2n^3 tendem a zero, pois dividindo um número constante por um número que cresce sem limites, o resultado fica cada vez menor.

Resposta

Portanto, o limite é:
limn infty an = 02 + 0 = 0

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