Aqui, o conteúdo que vamos usar é o de integração de funções racionais, que envolve dividir polinômios. Precisamos simplificar a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador . Notamos que podemos fatorar :
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração. Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador fatorado:
Simplificando cada fração:
Passo 4
Agora, nossa integral está dividida em duas partes mais simples:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 5
Primeira integral:
Aqui, podemos usar uma substituição simples. Seja , então . Isso simplifica a integral para:
Passo 6
Segunda integral:
Para resolver essa, usamos a fração parcial. Vamos decompor:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo:
A = -1, B = 1, C = 0
Então, a fração parcial fica:
1x(x^2 - 1) = -1x + xx^2 - 1
Passo 7
Agora, integramos cada termo:
integral ( -1x + xx^2 - 1 ) , dx = -ln|x| + 12 ln|x^2 - 1| + C
Passo 8
Voltando à nossa integral original, juntando os resultados:
integral 2xx^2 - 1 , dx - integral 1x(x^2 - 1) , dx = ln|x^2 - 1| - ( -ln|x| + 12 ln|x^2 - 1| ) + C
Simplificando:
= ln|x^2 - 1| + ln|x| - 12 ln|x^2 - 1| + C
= ln|x| + 12 ln|x^2 - 1| + C
Resposta
A integral é igual a ln|x| + 12 ln|x^2 - 1| + C, onde C é a constante de integração.