Calcule as seguintes integrais:
integral 2 x^3-xx^4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 2 x^3-xx^4-x^2 , dx.
Aqui, o conteúdo que vamos usar é o de integração de funções racionais, que envolve dividir polinômios. Precisamos simplificar a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^4 - x^2. Notamos que podemos fatorar x^2:
x^4 - x^2 = x^2(x^2 - 1)
Então, a integral fica:
integral 2 x^3 - xx^2(x^2 - 1) , dx

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração. Vamos dividir cada termo do numerador pelo denominador fatorado:
2 x^3 - xx^2(x^2 - 1) = 2 x^3x^2(x^2 - 1) - xx^2(x^2 - 1)
Simplificando cada fração:
= 2xx^2 - 1 - 1x(x^2 - 1)

Passo 4

Agora, nossa integral está dividida em duas partes mais simples:
integral 2xx^2 - 1 , dx - integral 1x(x^2 - 1) , dx
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 5

Primeira integral: integral 2xx^2 - 1 , dx
Aqui, podemos usar uma substituição simples. Seja u = x^2 - 1, então du = 2x , dx. Isso simplifica a integral para:
integral 1u , du = ln|u| + C = ln|x^2 - 1| + C

Passo 6

Segunda integral: integral 1x(x^2 - 1) , dx
Para resolver essa, usamos a fração parcial. Vamos decompor:
1x(x^2 - 1) = Ax + Bx + Cx^2 - 1
Multiplicando ambos os lados por x(x^2 - 1):
1 = A(x^2 - 1) + (Bx + C)x
Simplificando:
1 = A x^2 - A + B x^2 + C x
Agrupando termos semelhantes:
1 = (A + B) x^2 + C x - A
Comparando os coeficientes:
A + B = 0 C = 0 - A = 1
Resolvendo:
A = -1, B = 1, C = 0
Então, a fração parcial fica:
1x(x^2 - 1) = -1x + xx^2 - 1

Passo 7

Agora, integramos cada termo:
integral ( -1x + xx^2 - 1 ) , dx = -ln|x| + 12 ln|x^2 - 1| + C

Passo 8

Voltando à nossa integral original, juntando os resultados:
integral 2xx^2 - 1 , dx - integral 1x(x^2 - 1) , dx = ln|x^2 - 1| - ( -ln|x| + 12 ln|x^2 - 1| ) + C
Simplificando:
= ln|x^2 - 1| + ln|x| - 12 ln|x^2 - 1| + C
= ln|x| + 12 ln|x^2 - 1| + C

Resposta

A integral é igual a ln|x| + 12 ln|x^2 - 1| + C, onde C é a constante de integração.

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