Calcule as seguintes integrais:
integral 2 x-1(x-1) x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x-1(x-1)x,dx
Este é um caso de integral de função racional; vamos usar decomposição em frações parciais para reescrever o integrando como soma de termos mais simples.

Passo 2

Assumimos a forma
2x-1x(x-1) = Ax + Bx-1
Multiplicando ambos os lados por x(x-1), obtemos
2x - 1 = A(x-1) + Bx = (A+B)x - A

Passo 3

Igualamos coeficientes de x e termos constantes:
A + B = 2, -,A = -1
Da segunda equação vem A=1. Substituindo em A+B=2 B=1. Logo
2x-1x(x-1) = 1x + 1x-1

Passo 4

Agora integramos termo a termo, lembrando que integral 1u,du = ln|u| + C:
integral 1x,dx = ln|x|, integral 1x-1,dx = ln|x-1|
Somando,
integral 2x-1x(x-1),dx = ln|x| + ln|x-1| + C

Resposta

lnl|x,(x-1)r| + C

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