Calcule as seguintes integrais:
integral x+1raiz12-2 x-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x+1raiz12-2x - x^2 ,dx
O tema é cálculo de integral indefinida usando substituição e completar quadrado no radicando.

Passo 2

Vamos completar o quadrado em 12-2x - x^2.
12-2x - x^2 = -(x^2+2x-12) = -l((x+1)^2 -13r) = 13 - (x+1)^2
Logo
raiz12-2x - x^2 = raiz13 - (x+1)^2

Passo 3

Fazemos a troca de variável
t = x+1, dt = dx
A integral vira
integral traiz13 - t^2 ,dt

Passo 4

Reconhecemos que
ddtl(raiz13 - t^2r) = -traiz13 - t^2
Portanto
integral traiz13 - t^2 ,dt = -raiz13 - t^2 + C

Passo 5

Voltando a x, temos t = x+1, então
-raiz13 - t^2 + C = -raiz13 - (x+1)^2 + C = -raiz12 - 2x - x^2 + C

Resposta

-raiz12 - 2x - x^2 + C

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