Calcule as seguintes integrais:
integral 1sen(t) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 1sin(t),dt, ou seja, a integral de csc(t). Vamos usar uma técnica clássica: multiplicar e dividir por csc(t)+cot(t) para permitir uma substituição simples.

Passo 2

Reescrevemos a integral multiplicando o integrando por csc(t)+cot(t)csc(t)+cot(t):
integral csc(t),dt = integral csc(t)l(csc(t)+cot(t)r)csc(t)+cot(t),dt = integral csc^2(t)+csc(t)cot(t)csc(t)+cot(t),dt

Passo 3

Observamos que
ddtl(csc(t)+cot(t)r) = -l(csc(t)cot(t)+csc^2(t)r)
Logo, o numerador csc^2(t)+csc(t)cot(t) é exatamente -dfracddt(csc(t)+cot(t)).

Passo 4

Fazendo a substituição
u = csc(t)+cot(t), du = -l(csc^2(t)+csc(t)cot(t)r),dt,
a integral fica
integral csc^2(t)+csc(t)cot(t)csc(t)+cot(t),dt = -integral duu

Passo 5

Integrando em u e voltando para t, obtemos
-integral duu = -lnl|ur| + C = -lnl|csc(t)+cot(t)r| + C
Como forma alternativa equivalente, pode-se usar
lnl|tant2r| + C.

Resposta

integral 1sin(t),dt = -lnl|csc(t)+cot(t)r| + C

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