Calcule as seguintes integrais:
integral sec ^2(x)tg(x) d x

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos calcular
integral sec^2(x)tan(x) ,dx
O que vamos usar aqui são identidades trigonométricas e integrais básicas.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando em função de seno e cosseno:
sec^2(x)tan(x) = 1/cos^2(x)sin(x)/cos(x) = 1sin(x),cos(x)

Passo 3

Reconhecemos a identidade
tan(x)+cot(x) = sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x) = 1sin(x),cos(x),
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1sin(x),cos(x) = tan(x)+cot(x)

Passo 4

A integral se torna
integral l(tan(x)+cot(x)r),dx = integral tan(x),dx + integral cot(x),dx
Sabemos que
integral tan(x),dx = -lnl|cos(x)r| e integral cot(x),dx = lnl|sin(x)r|

Passo 5

Somando e combinando logaritmos,
-ln|cos(x)| + ln|sin(x)| + C = ln!gl|sin(x)cos(x)gr| + C = lnl|tan(x)r| + C

Resposta

lnl|tan(x)r| + C

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