Calcule as seguintes integrais:
integral tg(2 x^2+3) cdot sec ^2(2 x^2+3) cdot 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tanl(2x^2+3r),sec^2l(2x^2+3r),4x,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição (regra da cadeia), pois vemos um composto 2x^2+3 cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2x^2 + 3
Dessa forma, derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 4x,dx

Passo 3

Com u = 2x^2+3 e du = 4x,dx, a integral fica
integral tan(u),sec^2(u),du

Passo 4

Para integrar integral tan(u)sec^2(u),du, note que se fizermos
w = tan(u),
então
dw = sec^2(u),du
e a integral se torna
integral w,dw = w^22 + C = tan^2(u)2 + C

Passo 5

Voltando à variável x usando u = 2x^2+3, a primitiva é
tan^2l(2x^2+3r)2 + C

Resposta

tan^2l(2x^2+3r)2 + C

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