Escolha 3 dos itens a seguir, calcule os limites e explique DETALHADAMENTE sua resolução.
lim x 0(1+2 x)^3x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite de (1 + 2x)^3x quando x se aproxima de 0. Isso está relacionado ao conteúdo de limites em funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e talvez umas dicas de logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que quando x se aproxima de 0, a base 1 + 2x se aproxima de 1. Então, temos algo do tipo (1 + pequeno)^constantepequeno, que é um caso clássico onde usamos logaritmos para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos chamar o limite de L, ou seja:
L = limx to 0 (1 + 2x)^3x
Para resolver, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
ln L = limx to 0 3x cdot ln(1 + 2x)
Agora, nossa tarefa é calcular limx to 0 ln(1 + 2x)x.

Passo 4

Sabemos que limy to 0 ln(1 + y)y = 1. Aqui, temos y = 2x, então:
limx to 0 ln(1 + 2x)x = 2 cdot limx to 0 ln(1 + 2x)2x = 2 cdot 1 = 2
Portanto, ln L = 3 cdot 2 = 6.

Passo 5

Agora, para encontrar L, vamos desfazer o logaritmo:
L = e^ln L = e^6

Resposta

O limite limx 0(1+2 x)^3x é igual a e^6.

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