Calcule as seguintes integrais:
integral cos (-2 x)raiz[3](9-sen(-2 x))^7 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral
integral cos(-2x)raiz[3](9-sen(-2x))^7,dx
O conteúdo é integração por substituição, e precisamos usar propriedades de funções trigonométricas ímpares e pares para simplificar o integrando.

Passo 2

Usamos que cos(-2x)=cos2x (coseno é função par) e sen(-2x)=-sin2x (seno é função ímpar). Então
9-sen(-2x)=9+ sin2x
e a integral fica
integral cos2x(9+sin2x)^7/3,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 9 + sin2x, du = 2cos2x,dx Longrightarrow cos2x,dx = du2
Assim a integral transforma-se em
integral cos2x(9+sin2x)^7/3,dx = 12 integral u^-7/3,du

Passo 4

Integramos a potência de u:
integral u^-7/3,du = u^-7/3+1-7/3+1 = u^-4/3-4/3 = -34,u^-4/3
Multiplicando pelo fator tfrac12 obtém-se
12!times!l(-tfrac34u^-4/3r) = -38,u^-4/3 + C

Passo 5

Voltando à variável x, u = 9+sin2x. Logo a primitiva é
-38,(9+sin2x)^-4/3 + C
Em termos da forma original, lembrando que 9+sin2x=9-sen(-2x), podemos escrever
-38,raiz[3](9-sen(-2x))^4+C

Resposta

-38,(9+sin2x)^4/3+C
ou equivalentemente
-38,raiz[3](9-sen(-2x))^4+C

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