Calcule as seguintes integrais:
integral raiz1-12 x^2 d xx^3

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral raiz1-12x^2,dxx^3
O conteúdo é integração por substituição em função composta envolvendo radical quadrático. Vamos escolher uma substituição que torne o radicando na forma raiz1-t^2.

Passo 2

Escolhemos a substituição
t = 1raiz2,x,
logo
1-12x^2 = 1 - t^2,
e diferenciando temos
dt = -1raiz2x^2,dx Longrightarrow dxx^2 = -raiz2,dt

Passo 3

Reescrevemos o integrando usando tfracdxx^3 = tfrac1x,tfracdxx^2 e, como x = tfrac1raiz2t, temos tfrac1x = raiz2,t. Substituindo tudo na integral original:
integral raiz1-12x^2dxx^3 = integral raiz1-t^2,l(1xr),dxx^2 = integral raiz1-t^2,(raiz2t),(-raiz2,dt) = -2integral traiz1-t^2,dt

Passo 4

Para integrar integral traiz1-t^2,dt fazemos w = 1-t^2, de onde dw = -2t,dt ou t,dt = -tfrac12,dw. Assim,
-2integral traiz1-t^2,dt = -2integral raizw,l(-tfrac12,dwr) = integral w^1/2,dw = 23w^3/2 + C

Passo 5

Voltando à variável x, temos w = 1-t^2 = 1 - tfrac12x^2. Logo a integral original é
23l(1 - 12x^2r)^3/2 + C

Resposta

23l(1 - 12x^2r)^3/2 + C

Exercícios relacionados