Show that
.
Passo 1
O que temos é a função
e queremos sua transformada de Laplace
O conteúdo principal aqui é o uso da definição de transformada de Laplace junto com o truque de derivar em relação a um parâmetro para avaliar uma integral que envolve
.
Passo 2
Aplicando a definição,
Passo 3
Para resolver
vamos tratar como função de
(mantendo
e
fixos) e derivar em
. Chamemos
.
Então
vamos tratar
Então
Passo 4
Integrando em
, obtemos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e de
, mas não de
.
Passo 5
Para achar
, note que se
então
e logo
. Assim
Portanto