Show that Le^-a t-e^-b tt=ln (s+bs+a).

Passo 1

O que temos é a função
f(t)=e^-a t-e^-b tt
e queremos sua transformada de Laplace
F(s)=Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-s t,dt
O conteúdo principal aqui é o uso da definição de transformada de Laplace junto com o truque de derivar em relação a um parâmetro para avaliar uma integral que envolve 1/t.

Passo 2

Aplicando a definição,
F(s) =integral0^inftye^-a t-e^-b tt,e^-s t,dt =integral0^inftye^-(s+a)t-e^-(s+b)tt,dt

Passo 3

Para resolver
integral0^inftye^-(s+a)t-e^-(s+b)tt,dt
vamos tratar F como função de a (mantendo b e s fixos) e derivar em a. Chamemos
F(a)=integral0^inftye^-(s+a)t-e^-(s+b)tt,dt.
Então
partial Fpartial a =integral0^inftypartialpartial al(e^-(s+a)t/tr),dt =integral0^inftyl(-e^-(s+a)tr),dt =-1s+a

Passo 4

Integrando em a, obtemos
F(a)=-integral1s+a,da=-ln(s+a)+C(s,b),
onde C(s,b) é uma “constante” de integração que pode depender de s e de b, mas não de a.

Passo 5

Para achar C(s,b), note que se a=b então f(t)=0 e logo F(b)=0. Assim
0=F(b)=-ln(s+b)+C(s,b)Longrightarrow C(s,b)=ln(s+b)
Portanto
F(a)=ln(s+b)-ln(s+a)=ln!gl(s+bs+agr)

Resposta

Lle^-a t-e^-b ttr =ln!l(tfracs+bs+ar)

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