Evaluate Le^-t(3 sinh 2 t-5 cosh 2 t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^-tl(3sinh(2t)-5cosh(2t)r)
O conteúdo envolve a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt
e as fórmulas já conhecidas
Lsinh(at)(s)=as^2-a^2, Lcosh(at)(s)=ss^2-a^2
Também podemos usar a propriedade de deslocamento: multiplicar por e^-t equivale a substituir s por s+1 na transformada sem esse fator.

Passo 2

Escrevemos a definição aplicando diretamente:
Le^-t(3sinh2t-5cosh2t)(s) =integral0^inftye^-ste^-tl(3sinh2t-5cosh2tr),dt =integral0^inftye^-(s+1)tl(3sinh2t-5cosh2tr),dt

Passo 3

Podemos então separar em duas integrais e usar as fórmulas
integral0^inftye^-alpha tsinh(2t),dt=2alpha^2-4, integral0^inftye^-alpha tcosh(2t),dt=alphaalpha^2-4,
com alpha=s+1. Logo
Le^-tsinh2t(s) =2(s+1)^2-4, Le^-tcosh2t(s) =s+1(s+1)^2-4

Passo 4

Voltando ao problema, multiplicamos pelos coeficientes 3 e -5:
Lf(s) =3cdot2(s+1)^2-4-5cdots+1(s+1)^2-4 =6-5(s+1)(s+1)^2-4

Passo 5

Basta agora simplificar o numerador e o denominador:
6-5(s+1)=6-5s-5=1-5s, (s+1)^2-4=s^2+2s+1-4=s^2+2s-3
Portanto
Lf(s) =1-5ss^2+2s-3

Resposta

boxedLe^-t(3sinh2t-5cosh2t)(s) =1-5ss^2+2s-3

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