Calcule as seguintes integrais:
integral x^2+2 xraizx^3+3 x^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2+2xraizx^3+3x^2+1;dx
O conteúdo aqui é técnica de substituição (u-substituição): vamos procurar uma função u(x) cuja derivada seja proporcional ao numerador x^2+2x.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^3+3x^2+1
Calculamos a diferencial:
du = (3x^2+6x),dx = 3,(x^2+2x),dx Longrightarrow (x^2+2x),dx = du3
Substituindo na integral original, obtemos
integral x^2+2xraizx^3+3x^2+1,dx = integral 1raizu;du3 = 13integral u^-tfrac12,du

Passo 3

Agora integramos em u:
integral u^-tfrac12,du = u^tfrac12tfrac12 = 2,u^tfrac12
Portanto
13integral u^-tfrac12,du = 13cdot 2,u^tfrac12 + C = 23,raizu + C

Passo 4

Voltando à variável x, temos u = x^3+3x^2+1. Logo a primitiva é
23,raizx^3+3x^2+1 + C

Resposta

23,raizx^3+3x^2+1 + C

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