Find L(1+t e^-t)^3.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de l(1 + t,e^-tr)^3. O conteúdo envolvido é expansão binomial e uso da propriedade linear da transformada de Laplace combinada com a fórmula
Lt^ne^-a t = n!(s + a)^n+1

Passo 2

Expandimos o cubo usando o binômio de Newton:
l(1 + t,e^-tr)^3 = 1 + 3,t,e^-t + 3,t^2e^-2t + t^3e^-3t

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
Ll(1 + t,e^-tr)^3 = L1 +3,Lt,e^-t +3,Lt^2e^-2t +Lt^3e^-3t

Passo 4

Aplicando a fórmula Lt^ne^-a t=n!(s+a)^n+1:
L1 = 1s, Lt,e^-t = 1!(s+1)^2 = 1(s+1)^2,
Lt^2e^-2t = 2!(s+2)^3 = 2(s+2)^3, Lt^3e^-3t = 3!(s+3)^4 = 6(s+3)^4
Multiplicando pelos coeficientes vindos da expansão:
3cdot1(s+1)^2 = 3(s+1)^2, 3cdot2(s+2)^3 = 6(s+2)^3, 1cdot6(s+3)^4 = 6(s+3)^4

Resposta

Lll(1 + t,e^-tr)^3r = 1s + 3(s+1)^2 + 6(s+2)^3 + 6(s+3)^4

Exercícios relacionados