Calcule as seguintes integrais:
integral x^2 raiz9+x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x^2raiz9+x,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos a expressão 9+x dentro de uma raiz. Vamos usar a mudança de variável para transformar essa raiz em uma potência simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 9 + x,
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du = dx e x = u - 9
Assim, x^2 = (u-9)^2 e raiz9+x = raizu = u^1/2.

Passo 3

Reescrevendo o integrando em função de u, temos
x^2raiz9+x,dx = (u-9)^2,u^1/2,du
Expandindo (u-9)^2 = u^2-18u+81, obtemos
(u^2-18u+81),u^1/2 = u^5/2 - 18,u^3/2 + 81,u^1/2

Passo 4

Agora integramos termo a termo, usando integral u^ndu = u^n+1/(n+1):
integral u^5/2du = u^7/2tfrac72 = 27u^7/2,
integral -18,u^3/2du = -18cdotu^5/2tfrac52 = -365u^5/2,
integral 81,u^1/2du = 81cdotu^3/2tfrac32 = 54,u^3/2
Somando tudo e incluindo a constante C, fica
27u^7/2 - 365u^5/2 + 54,u^3/2 + C

Passo 5

Voltando à variável x com u = 9 + x, a antiderivada é
27(9+x)^7/2 - 365(9+x)^5/2 + 54,(9+x)^3/2 + C

Resposta

integral x^2raiz9+x,dx = 27(9+x)^7/2 - 365(9+x)^5/2 + 54,(9+x)^3/2 + C

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