Find Lt^7 / 2 e^3 t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de ,t^7/2e^3t. O conteúdo envolvido é a definição
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
e as duas propriedades principais:
  1. Lt^p(s)=Gamma(p+1)s^p+1.
  2. Deslocamento no domínio de s:
Le^atf(t)(s)=F(s-a)

Passo 2

Primeiro, sem o fator exponencial e^3t, temos
Lt^7/2(s) =Gammal(tfrac72+1r)s^tfrac72+1 =Gammal(tfrac92r)s^9/2

Passo 3

Agora aplicamos o deslocamento smapsto s-3 devido ao fator e^3t:
Lt^7/2e^3t(s) =Gammal(tfrac92r)(s-3)^9/2,
com região de convergência Re(s)>3.

Passo 4

Falta calcular Gammal(tfrac92r). Usando
Gammal(n+tfrac12r) =(2n)!4^n,n!raizpi,
para n=4 vem
Gammal(tfrac92r) =8!4^4;4!raizpi =40320256cdot24raizpi =10516raizpi

Passo 5

Substituindo em Gamma(tfrac92)(s-3)^9/2, obtemos a forma final.

Resposta

Lt^7/2e^3t(s) =105raizpi16,(s-3)^9/2, Re(s)>3

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