Calcule as seguintes integrais:
integral y+3(3-y)^3 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral y+3(3-y)^3,dy
O conteúdo aqui é integração de uma função racional simples, e vamos usar uma substituição do tipo u=3-y para simplificar a expressão.

Passo 2

Fazendo u=3-y, temos
du = -,dy Longrightarrow dy = -,du,
e também y=3-u, logo o numerador fica
y+3 = (3-u)+3 = 6 - u,
enquanto o denominador é (3-y)^3 = u^3. Portanto a integral vira
integral y+3(3-y)^3,dy = integral 6 - uu^3 ,(-du) = integral u - 6u^3,du

Passo 3

Separe os termos em potências de u:
u-6u^3 = u^-2 - 6,u^-3
Agora integramos termo a termo:
integral u^-2,du = -,u^-1, integral (-6,u^-3),du = -6cdot u^-2-2 = 3,u^-2
Somando,
integral (u^-2-6u^-3),du = -,u^-1 + 3,u^-2 + C

Passo 4

Volta à variável y substituindo u=3-y:
-,u^-1 + 3,u^-2 = -13-y + 3(3-y)^2
Podemos juntar em um único quociente com denominador (3-y)^2:
-13-y + 3(3-y)^2 = -,(3-y) + 3(3-y)^2 = y(3-y)^2

Resposta

y(3-y)^2 + C

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