Show that Le^-a t J0(b t)=1raizs^2-2 a s+a^2+b^2.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^-a tJ0(b t),
onde J0 é a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero.
Para resolver, vamos usar:
  1. A transformada básica
    LJ0(b t)(s)=integral0^inftye^-s tJ0(b t),dt=1raizs^2+b^2.
  2. O teorema de deslocamento no domínio s:
    Le^alpha tf(t)(s)=F(s-alpha),
    válido sempre que F(s)=Lf(t)(s).

Passo 2

Começamos lembrando a transformada de Laplace de J0(b t):
LJ0(b t)(s) =integral0^inftye^-s tJ0(b t),dt =1raizs^2+b^2,
válida para Re(s)>0.

Passo 3

Agora aplicamos o teorema de deslocamento no domínio s.
Queremos Le^-a tJ0(b t)(s).
Compare com a forma Le^alpha tf(t)(s)=F(s-alpha).
Aqui alpha=-a e f(t)=J0(b t), logo
Le^-a tJ0(b t)(s) =Fl(s-(-a)r) =F(s+a)

Passo 4

Substituindo F(s)=1/raizs^2+b^2 em smapsto s+a, obtemos
Le^-a tJ0(b t)(s) =1raiz(s+a)^2+b^2 =1raizs^2+2as+a^2+b^2

Resposta

boxedLe^-a tJ0(b t)(s) =1raizs^2+2,a,s+a^2+b^2

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