Find Lsinh ^3 2 t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de sinh^3(2t). Para resolver, vamos usar uma identidade de funções hiperbólicas e a linearidade da transformada de Laplace.

Passo 2

Usamos a identidade
sinh^3 u ;=;3,sinh u + sinh(3u)4
com u=2t. Assim,
sinh^3(2t) =3,sinh(2t)+sinh(6t)4

Passo 3

Pela linearidade da transformada de Laplace,
Lsinh^3(2t) =3,Lsinh(2t)+Lsinh(6t)4

Passo 4

Sabendo que para a>0
Lsinh(at) =as^2 - a^2,
temos
Lsinh(2t)=2s^2-4, Lsinh(6t)=6s^2-36

Passo 5

Substituindo esses resultados,
Lsinh^3(2t) =3cdot2s^2-4+6s^2-364 =6s^2-4+6s^2-364 =32l(1s^2-4+1s^2-36r)

Passo 6

Usando denominador comum (s^2-4)(s^2-36), simplificamos:
32l(1s^2-4+1s^2-36r) =3l((s^2-36)+(s^2-4)r)2(s^2-4)(s^2-36) =3(2s^2-40)2(s^2-4)(s^2-36) =3(s^2-20)(s^2-4)(s^2-36)

Resposta

Lsinh^3(2t) =3(s^2-20)(s^2-4)(s^2-36)

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