Calcule as seguintes integrais:
integral xraiz2-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral xraiz2 - x,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções racionais em que aparece uma raiz do tipo raiza - x. Vamos usar a técnica de substituição para transformar essa raiz em potência que facilite a aplicação da regra do poder.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 2 - x,
então
du = -,dx ou dx = -,du,
e também x = 2 - u. Substituindo na integral, expressamos tudo em função de u.

Passo 3

Substituindo x = 2 - u e dx = -,du em
xraiz2 - x,dx, obtemos
integral 2 - uraizu;(-,du) = -integral l(2,u^-tfrac12 - u^tfrac12r),du
Aqui usamos raizu=u^1/2 e 1/raizu=u^-1/2, e distribuímos o sinal negativo.

Passo 4

Agora integramos termo a termo usando a regra do poder integral u^p,du = u^p+1p+1:
-integral 2,u^-tfrac12,du + integral u^tfrac12,du = -2cdotu^tfrac12+1tfrac12+1 + u^tfrac12+1tfrac12+1 + C
Calculando os coeficientes:
integral u^-tfrac12,du = 2,u^tfrac12, integral u^tfrac12,du = 23,u^tfrac32
Logo,
-2cdotl(2,u^tfrac12r) + 23,u^tfrac32 = -4,u^tfrac12 + 23,u^tfrac32 + C

Passo 5

Voltando à variável original x com u=2-x, temos
-4,(2-x)^tfrac12 + 23,(2-x)^tfrac32 + C
Assim escrevemos de forma convencional:

Resposta

boxed integral xraiz2 - x,dx = 23,(2-x)^tfrac32 -4,(2-x)^tfrac12 + C

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