Find Lt^3 cos 4 t.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de ,t^3cos4t.
Conteúdo: transformada de Laplace e, em especial, a propriedade
Lt^nf(t) = (-1)^nd^nds^nl[Lf(t)(s)r]
Vamos precisar da transformada de cos4t e depois diferenciar em s três vezes.

Passo 2

Calcular a transformada de Laplace de cos4t:
Lcos4t(s) = integral0^inftye^-stcos4t,dt = ss^2+16
Denotemos
G(s)=Lcos4t(s)=ss^2+16

Passo 3

Pela propriedade de multiplicação por t^3 temos
Lt^3cos4t(s) = (-1)^3d^3ds^3l[G(s)r] = -,G^(3)(s)

Passo 4

Calcular as primeiras derivadas de G(s):
G(s)=ss^2+16, G'(s)=16 - s^2(s^2+16)^2, G''(s)=2s,(s^2-48)(s^2+16)^3

Passo 5

Computar a terceira derivada G^(3)(s). Após diferenciar e simplificar, obtém‐se
G^(3)(s) = -,6l(s^4-96s^2+256r)(s^2+16)^4
Como Lt^3cos4t(s)=-G^(3)(s), resulta

Resposta

Lt^3cos4t(s) = 6l(s^4-96s^2+256r)(s^2+16)^4

Exercícios relacionados