Calcule as seguintes integrais
integral-2^3 x^2 e^x+sen(3 x) d x;

Passo 1

Então, a gente tem que calcular uma integral definida:
integral-2^3 ( x^2 e^x + sin(3x) ) dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais definidas que calculam a área sob a curva entre dois pontos. Vamos precisar conhecer as técnicas de integração para funções que envolvem polinômios multiplicados por exponenciais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral-2^3 x^2 e^x dx + integral-2^3 sin(3x) dx
Assim, calculamos cada uma separadamente e depois somamos os resultados.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral:
integral x^2 e^x dx
Para resolver isso, usaremos a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos u = x^2 e dv = e^x dx . Então, precisamos encontrar du e v :
du = 2x dx v = e^x
Aplicando a fórmula:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - integral 2x e^x dx

Passo 4

Agora, temos a integral integral 2x e^x dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes:
Escolhemos u = 2x e dv = e^x dx . Então:
du = 2 dx v = e^x
Aplicando a fórmula:
integral 2x e^x dx = 2x e^x - integral 2 e^x dx = 2x e^x - 2 e^x

Passo 5

Voltando à nossa primeira parte, substituímos o resultado:
integral x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2 e^x) = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x
Agora, avaliamos essa expressão de -2 a 3:
[ x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x ]-2^3

Passo 6

Calculando em 3:
3^2 e^3 - 2 cdot 3 e^3 + 2 e^3 = (9 - 6 + 2) e^3 = 5 e^3
Calculando em -2:
(-2)^2 e^-2 - 2 cdot (-2) e^-2 + 2 e^-2 = (4 + 4 + 2) e^-2 = 10 e^-2
Então, a primeira integral fica:
5 e^3 - 10 e^-2

Passo 7

Agora, vamos para a segunda integral:
integral sin(3x) dx
Sabemos que a integral de sin(kx) é:
- 1k cos(kx) + C
Então, aplicando:
integral sin(3x) dx = -13 cos(3x)
Avaliando de -2 a 3:
[ -13 cos(3x) ]-2^3 = -13 cos(9) + 13 cos(-6)
Como cos(-6) = cos(6) , fica:
-13 cos(9) + 13 cos(6) = 13 ( cos(6) - cos(9) )

Resposta

Somando as duas partes, a integral definida é:
5 e^3 - 10 e^-2 + 13 ( cos(6) - cos(9) )

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