Seja E o sólido limitado pela esfera de centro na origem e raio 2, inferiormente pelo plano z=1. Esboce a região R, indicando no desenho, claramente, as superfícies que a delimitam. Expresse o volume de E como integral tripla em coordenadas esféricas (não é necessário calcular a integral).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido E que é limitado por uma esfera com centro na origem e raio 2, e pela parte inferior pelo plano z=1. A matéria aqui envolve geometria espacial e integração em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como descrever volumes usando integrais triplas em coordenadas esféricas e entender as equações que definem essas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a esfera. A equação da esfera com centro na origem e raio 2 é:
x^2 + y^2 + z^2 = 4
Em coordenadas esféricas, isso fica simplesmente:
rho = 2
onde rho é a distância do ponto à origem.

Passo 3

Agora, vamos considerar o plano z=1. Esse plano corta a esfera, e queremos pegar apenas a parte da esfera que está acima desse plano. Em coordenadas esféricas, z é representado por:
z = rho cosphi
Então, o plano z=1 se traduz em:
rho cosphi = 1 Rightarrow rho = 1cosphi

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. Como a esfera tem raio 2, rho varia de 1cosphi até 2. O ângulo phi (medido a partir do eixo z) vai de 0 até o ângulo onde a esfera e o plano se encontram.
Para encontrar esse ângulo, usamos rho = 2 na equação do plano:
2 cosphi = 1 Rightarrow cosphi = 12 Rightarrow phi = pi3

Passo 5

O ângulo theta representa a rotação ao redor do eixo z e varia de 0 a 2pi para cobrir toda a volta. Portanto, os limites de integração ficam assim:
  • theta de 0 a 2pi
  • phi de 0 a pi3
  • rho de 1cosphi a 2

Passo 6

A forma geral da integral tripla em coordenadas esféricas é:
integraltheta1^theta2 integralphi1^phi2 integralrho1^rho2 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Aqui, rho^2 sinphi é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 7

Substituindo os limites que encontramos, a integral que representa o volume de E é:
V = integral0^2pi integral0^pi3 integral1cosphi^2 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Resposta

O volume de E pode ser expresso como a integral tripla em coordenadas esféricas:
V = integral0^2pi integral0^pi3 integral1cosphi^2 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

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