Seja E o sólido limitado pela esfera de centro na origem e raio 2, inferiormente pelo plano
. Esboce a região
, indicando no desenho, claramente, as superfícies que a delimitam. Expresse o volume de E como integral tripla em coordenadas esféricas (não é necessário calcular a integral).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sólido E que é limitado por uma esfera com centro na origem e raio 2, e pela parte inferior pelo plano
. A matéria aqui envolve geometria espacial e integração em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como descrever volumes usando integrais triplas em coordenadas esféricas e entender as equações que definem essas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a esfera. A equação da esfera com centro na origem e raio 2 é:
Em coordenadas esféricas, isso fica simplesmente:
onde
é a distância do ponto à origem.
Passo 3
Agora, vamos considerar o plano
. Esse plano corta a esfera, e queremos pegar apenas a parte da esfera que está acima desse plano. Em coordenadas esféricas,
é representado por:
Então, o plano
se traduz em:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. Como a esfera tem raio 2,
varia de
até 2. O ângulo
(medido a partir do eixo z) vai de 0 até o ângulo onde a esfera e o plano se encontram.
Para encontrar esse ângulo, usamos
na equação do plano:
Passo 5
O ângulo
representa a rotação ao redor do eixo z e varia de 0 a
para cobrir toda a volta. Portanto, os limites de integração ficam assim:
-
de a -
de a -
de a
Passo 6
A forma geral da integral tripla em coordenadas esféricas é:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 7
Substituindo os limites que encontramos, a integral que representa o volume de E é:
Resposta
O volume de E pode ser expresso como a integral tripla em coordenadas esféricas: