Calcule as seguintes integrais:
integral0^pi2 integral0^cos (theta) e^sen(theta) d r d theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^pi2integral0^cos(theta)e^sen(theta),dr,dtheta
O conteúdo aqui é integrar primeiro em r (onde o integrando não depende de r) e depois em theta usando substituição.

Passo 2

Como e^sen(theta) é constante em relação a r, temos
integral0^cos(theta)e^sen(theta),dr = e^sen(theta)integral0^cos(theta)dr = e^sen(theta)cos(theta)
Então a integral original vira
integral0^pi2e^sen(theta)cos(theta),dtheta

Passo 3

Para calcular
integral0^pi2e^sen(theta)cos(theta),dtheta
façamos a substituição u=sen(theta), de modo que du=cos(theta),dtheta. Quando theta=0, u=0; quando theta=pi2, u=1. Logo,
integral0^pi2e^sen(theta)cos(theta),dtheta =integral0^1e^u,du =[e^u]0^1 =e-1

Resposta

e - 1

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