Calcule as seguintes integrais:
integral e^2 z cos (14 z) d z

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral e^2zcosl(14zr),dz
O conteúdo é usar a fórmula de Euler para converter o cosseno em exponencial complexa e, em seguida, extrair a parte real do resultado.

Passo 2

Usando a identidade
cosl(14zr)=Rel(e^i14zr),
temos
integral e^2zcosl(14zr),dz =Rel(integral e^2ze^i14z,dzr) =Rel(integral e^(2+tfraci4)z,dzr)

Passo 3

Como integral e^alpha z,dz = 1alphae^alpha z, com alpha=2+tfraci4, obtemos a antiderivada complexa
FC(z) =12+tfraci4,e^(2+tfraci4)z+C

Passo 4

Simplificamos o fator 1/(2+i/4). Note que
2+tfraci4=8+i4 Longrightarrow 12+tfraci4 =48+i =4(8-i)(8+i)(8-i) =32-4i65
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FC(z) =32-4i65,e^(2+tfraci4)z

Passo 5

Extraindo a parte real de FC(z), escrevemos
e^(2+tfraci4)z =e^2zl(cos(tfrac14z)+isin(tfrac14z)r),
e então
Rel[(32-4i)e^(2+tfraci4)zr] =e^2zl(32cos(tfrac14z)+4sin(tfrac14z)r)
Como havia o denominador 65, a antiderivada real é
F(z)=e^2z65l(32cos(tfrac14z)+4sin(tfrac14z)r)+C

Resposta

integral e^2zcosl(14zr),dz =e^2z65l(32cosl(tfrac14zr)+4sinl(tfrac14zr)r)+C

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