Calcule as seguintes integrais:
integral0^pi x^2 cos (4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral0^pi x^2 cos(4x),dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, e vamos precisar aplicá-la duas vezes.

Passo 2

Fazendo a primeira integração por partes, escolhemos
u = x^2, dv = cos(4x),dx.
Então
du = 2x,dx, v = integral cos(4x),dx = 14sin(4x)
Logo,
I =integral0^pix^2cos(4x),dx =l[x^24sin(4x)r]0^pi -12integral0^pixsin(4x),dx

Passo 3

O termo de fronteira é
pi^24sin(4pi)-0 =0
porque sin(4pi)=0. Assim fica
I = -12integral0^pixsin(4x),dx
Denotando
J = integral0^pixsin(4x),dx,
temos
I = -tfrac12,J.

Passo 4

Para calcular J, aplicamos integração por partes outra vez, com
u = x, dv=sin(4x),dx.
Então
du = dx, v = integral sin(4x),dx = -14cos(4x)
Daí
J =l[-x4cos(4x)r]0^pi +14integral0^picos(4x),dx =-pi4cos(4pi) +116l[sin(4x)r]0^pi
Como cos(4pi)=1 e sin(4pi)=sin(0)=0, segue
J = -pi4

Passo 5

Voltando a I = -tfrac12,J, obtemos
I = -12l(-pi4r) = pi8

Resposta

pi8

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