Calcule as seguintes integrais:
integral t^7 sin (2 t^4) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral t^7sinl(2t^4r),dt
O conteúdo necessário envolve primeira substituição para simplificar a potência de t e depois, se preciso, integrar por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2t^4 Longrightarrow du = 8t^3,dt Longrightarrow t^3,dt = du8
Repare que t^7 = t^4cdot t^3 e, pela definição de u, temos t^4 = tfracu2. Logo
t^7,dt = t^4,t^3,dt = u2cdotdu8 = u16,du

Passo 3

Substituindo na integral original, ela se torna
integral t^7sinl(2t^4r),dt = integral u16,sin(u),du = 116integral u,sin(u),du

Passo 4

Para calcular integral u,sin(u),du, usamos integração por partes. Seja
A = u, dB = sin(u),du Longrightarrow dA = du, B = -cos(u)
Então
integral u,sin(u),du = A,B - integral B,dA = -ucos(u) - integrall(-cos(u)r),du = -ucos(u) + integralcos(u),du = -ucos(u) + sin(u) + C
Multiplicando por tfrac116, obtemos
116integral u,sin(u),du = 116l(-ucos(u) + sin(u)r) + C

Passo 5

Voltando à variável t com u=2t^4, a primitiva final é
integral t^7sinl(2t^4r),dt = 116l(-2t^4cos(2t^4) + sin(2t^4)r) + C = -t^4cos(2t^4)8 + sin(2t^4)16 + C

Resposta

boxed-t^4cosl(2t^4r)8 + sinl(2t^4r)16 + C

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