Calcule as seguintes integrais:
integral y^6 cos (3 y) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral y^6cos(3y),dy
O conteúdo principal aqui é integração por partes e, para agilizar, vamos usar uma fórmula de redução que relaciona In=integral y^ncos(ay),dy com In-2.

Passo 2

Definindo
In=integral y^ncos(ay),dy
fazemos duas integrações por partes seguidas ( u=y^n, dv=cos(ay),dy; e depois u=y^n-1, dv=sin(ay),dy) para chegar à fórmula de redução
In =y^na,sin(ay) +na^2,y^n-1cos(ay) -n(n-1)a^2,In-2

Passo 3

Aplicamos a fórmula de redução com a=3 e para n=6,4,2:
I6 =y^63sin(3y) +69y^5cos(3y) -309I4 =y^63sin(3y) +23y^5cos(3y) -103I4,
I4 =y^43sin(3y) +49y^3cos(3y) -129I2 =y^43sin(3y) +49y^3cos(3y) -43I2,
I2 =y^23sin(3y) +29ycos(3y) -29I0

Passo 4

Calcular o caso n=0:
I0=integral cos(3y),dy =13sin(3y)

Passo 5

Substituindo I0 em I2:
I2 =y^23sin(3y) +29ycos(3y) -29,13sin(3y) =l(y^23-227r)sin(3y) +29ycos(3y)

Passo 6

Agora em I4:
I4 =y^43sin(3y) +49y^3cos(3y) -43I2 =l(y^43-4y^29+881r)sin(3y) +l(4y^39-8y27r)cos(3y)

Passo 7

Finalmente em I6:
I6 =y^63sin(3y) +23y^5cos(3y) -103I4 =81y^6-270y^4+360y^2-80243,sin(3y) +54y^5-120y^3+80y81,cos(3y)

Resposta

integral y^6cos(3y),dy =81y^6-270y^4+360y^2-80243,sin(3y) +54y^5-120y^3+80y81,cos(3y) +C

Exercícios relacionados