Calcule as seguintes integrais:
integral(4 x^3-9 x^2+7 x+3) e^-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral(4x^3 - 9x^2 + 7x + 3)e^-x,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes aplicada repetidas vezes a um polinômio multiplicado por uma exponencial. Vamos usar a fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du
para reduzir progressivamente o grau do polinômio.

Passo 2

Seja u = 4x^3 - 9x^2 + 7x + 3 e dv = e^-x,dx.
Então du = (12x^2 - 18x + 7),dx e v = -e^-x. Logo,
integral(4x^3-9x^2+7x+3)e^-x,dx = -,(4x^3-9x^2+7x+3)e^-x + integral(12x^2-18x+7)e^-x,dx

Passo 3

Para integral(12x^2-18x+7)e^-x,dx aplicamos partes de novo, com u=12x^2-18x+7, dv=e^-xdx. Isso dá
integral(12x^2-18x+7)e^-x,dx = -,(12x^2-18x+7)e^-x + integral(24x-18)e^-x,dx
E outra vez:
integral(24x-18)e^-x,dx = -,(24x-18)e^-x + integral24,e^-x,dx,
integral24,e^-x,dx = -24,e^-x + C

Passo 4

Somando todas as parcelas de partes obtemos
integral(4x^3-9x^2+7x+3)e^-x,dx = -l[(4x^3-9x^2+7x+3)+(12x^2-18x+7)+(24x-18)+24r]e^-x + C
Dentro dos colchetes o polinômio soma a
4x^3 + 3x^2 + 13x + 16

Resposta

-,(4x^3+3x^2+13x+16),e^-x + C

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