Calcule as seguintes integrais:
integral e^4 x raiz1+e^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
integral e^4xraiz1+e^2x,dx
O conteúdo principal é usar substituição para simplificar a raiz que envolve exponenciais.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^2x,
de onde
du = 2e^2x,dx Longrightarrow dx = du2u

Passo 3

Reescrevendo o integrando em função de u:
como e^4x=(e^2x)^2=u^2 e raiz1+e^2x=raiz1+u, temos
e^4xraiz1+e^2x,dx = u^2raiz1+u,du2u = 12,uraiz1+u;du
Logo a integral vira
integral e^4xraiz1+e^2x,dx = 12integral u,(1+u)^tfrac12,du

Passo 4

Para integrar integral u,(1+u)^tfrac12du, fazemos a mudança
t = 1+u, dt = du, u = t-1
Então
integral u,(1+u)^tfrac12du = integral (t-1),t^tfrac12dt = integral l(t^tfrac32 - t^tfrac12r)dt = 25t^tfrac52 - 23t^tfrac32 + C
Voltando ao fator tfrac12, obtemos
12integral u,(1+u)^tfrac12du = 15t^tfrac52 - 13t^tfrac32 + C

Passo 5

Substituindo de volta t=1+u e u=e^2x, a primitiva fica
15l(1+e^2xr)^tfrac52 - 13l(1+e^2xr)^tfrac32 + C

Resposta

integral e^4xraiz1+e^2x,dx = 15l(1+e^2xr)^tfrac52 - 13l(1+e^2xr)^tfrac32 + C

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