Calcule as seguintes integrais:
integral t^3(3 t^2-4)^52 d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral t^3(3t^2-4)^52,dt
O conteúdo principal aqui é usar substituição apropriada para transformar em potências de uma única variável.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3t^2-4,
então
du = 6t,dt Longrightarrow t,dt = du6
Para lidar com t^3dt, escrevemos
t^3dt = t^2,(t,dt),
e note que
t^2 = u+43

Passo 3

Substituindo em integral t^3(3t^2-4)^5/2,dt temos
t^3(3t^2-4)^52,dt = l(t^2r),l(t,dtr),u^52 = u+43,du6,u^52 = 118(u+4),u^52,du
Expandindo o integrando:
118(u+4),u^52 = 118l(u^72 + 4,u^52r)

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral 118u^72,du = 118cdot u^9292 = 118cdot 29,u^92 = 181,u^92,
integral 418u^52,du = 418cdot u^7272 = 418cdot 27,u^72 = 463,u^72
Logo, a primitiva em u é
181,u^92 + 463,u^72 + C

Passo 5

Voltando a t via u=3t^2-4, obtemos a resposta final:
boxed integral t^3(3t^2-4)^52,dt = 181,(3t^2-4)^92 + 463,(3t^2-4)^72 + C

Resposta

181,(3t^2-4)^92 + 463,(3t^2-4)^72 + C

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