Calcule as seguintes integrais:
integral raiz1-7 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral raiz1-7x^2;dx
O conteúdo aqui é integração por substituição trigonométrica, pois sob a raiz temos uma expressão do tipo 1 - a^2x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 1raiz7sintheta, dx = 1raiz7costheta,dtheta
Então
1-7x^2 = 1 - 7l(1raiz7sinthetar)^2 = 1 - sin^2theta = cos^2theta,
e a raiz vira costheta.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral raiz1-7x^2;dx = integral costheta;1raiz7costheta,dtheta = 1raiz7integral cos^2theta,dtheta
Usando cos^2theta=(1+cos2theta)/2,
integral cos^2theta,dtheta = 12integral (1+cos2theta),dtheta = theta2 + sin2theta4 + C
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1raiz7integral cos^2theta,dtheta = theta2raiz7 + sin2theta4raiz7 + C

Passo 4

Voltando para x:
theta = arcsin(raiz7,x), sin2theta = 2sinthetacostheta = 2(raiz7x)raiz1-7x^2
Substituindo,
sin2theta4raiz7 = 2raiz7xraiz1-7x^24raiz7 = x2raiz1-7x^2
Portanto a primitiva fica
theta2raiz7 + x2raiz1-7x^2 + C = arcsin(raiz7,x)2raiz7 + x2raiz1-7x^2 + C

Resposta

integral raiz1-7x^2;dx = x2raiz1-7x^2 + arcsin(raiz7,x)2raiz7 + C

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