Calcule as seguintes integrais:
integral x^2 raizx^2+4 d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
I = integral x^2,raizx^2+4,dx
O conteúdo principal aqui é integração de funções da forma raizx^2+a^2 e potências (x^2+a^2)^n. Vamos usar a identificação
x^2 = (x^2+4) - 4
para reduzir a integral a combinações de
integral (x^2+4)^3/2dx e integral raizx^2+4,dx.

Passo 2

Decompomos o integrando conforme a ideia acima:
I = integral x^2,raizx^2+4,dx = integral l((x^2+4)-4r),raizx^2+4,dx = integral (x^2+4)^3/2dx ;-; 4integral (x^2+4)^1/2dx
Chamemos
K = integral (x^2+4)^3/2dx, J = integral (x^2+4)^1/2dx
Então
I = K - 4,J

Passo 3

Calculemos primeiro
J = integral raizx^2+4,dx.
Use a substituição hiperbólica x=2sinh t, de modo que
raizx^2+4=2cosh t e dx=2cosh t,dt. Então
J = integral 2cosh t cdot 2cosh t,dt = 4integral cosh^2t,dt = 4integral 1+cosh(2t)2,dt = 2t +2cdotsinh(2t)2 + C = 2t + sinh t,cosh t + C
Voltando a x:
sinh t = x/2, cosh t = raizx^2+4/2 e
t = arsinh!l(tfracx2r) = ln!l(x+raizx^2+4r) - ln 2
Absorvendo constantes em C, obtemos
J = x2,raizx^2+4 ;+; 2,lnl|x+raizx^2+4r| ;+; C

Passo 4

Agora calculemos
K = integral (x^2+4)^3/2dx
via fórmula de redução para integral(x^2+a^2)^ndx:
integral (x^2+a^2)^ndx = x,(x^2+a^2)^n2n+1 + 2n,a^22n+1integral (x^2+a^2)^n-1dx
Aqui n=tfrac32 e a^2=4, logo
K = integral (x^2+4)^3/2dx = x,(x^2+4)^3/22cdot32+1 + 2cdot32cdot42cdot32+1 integral (x^2+4)^1/2dx
Como 2cdot32+1=4 e 2cdot32cdot4=12, temos
K = x,(x^2+4)^3/24 + 124,J = x,(x^2+4)^3/24 + 3,J

Passo 5

Voltemos a
I = K - 4,J. Substituindo K:
I = l(x,(x^2+4)^3/24 + 3,Jr) - 4,J = x,(x^2+4)^3/24 - J
E substituindo J:
I = x,(x^2+4)^3/24 - l(x2,raizx^2+4 + 2lnl|x+raizx^2+4r|r) + C
Para simplificar o termo em xraizx^2+4:
x,(x^2+4)^3/24 - x2,raizx^2+4 = x,raizx^2+44l((x^2+4)-2r) = x,(x^2+2),raizx^2+44

Resposta

boxed integral x^2raizx^2+4,dx = x,(x^2+2),raizx^2+44 ;-;2,ln!l|x+raizx^2+4r| ;+;C

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