Calcule as seguintes integrais:
integral x^3 raiz9-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
integral x^3raiz9 - x^2,dx
Esse problema envolve integração por substituição, pois a presença de raiz9 - x^2 sugere mudar para uma variável que simplifique a raiz.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 9 - x^2,
o que implica
du = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -tfrac12,du,
e também
x^2 = 9 - u

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
x^3raiz9 - x^2,dx = x^2cdot x,raizu,dx = (9 - u)raizu,l(x,dxr)
Substituindo x,dx = -tfrac12,du
integral x^3raiz9 - x^2,dx = -tfrac12integral(9 - u)u^1/2,du

Passo 4

Distribuindo e integrando termo a termo:
-tfrac12integrall(9u^1/2 - u^3/2r),du = -tfrac12l(9!integral u^1/2,du ;-;integral u^3/2,dur)
Calculando as primitivas:
integral u^1/2,du = tfrac23u^3/2, integral u^3/2,du = tfrac25u^5/2
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-tfrac12l(9cdottfrac23u^3/2 - tfrac25u^5/2r) = -tfrac12l(6u^3/2 - tfrac25u^5/2r)

Passo 5

Simplificando os coeficientes:
-tfrac12cdot6u^3/2 + tfrac12cdottfrac25u^5/2 = -3u^3/2 + tfrac15u^5/2
Voltando à variável original com u=9-x^2, obtemos
-3(9-x^2)^3/2 + tfrac15(9-x^2)^5/2 + C

Resposta

integral x^3raiz9 - x^2,dx = -3(9-x^2)^3/2 + 15(9-x^2)^5/2 + C

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