Calcule as seguintes integrais:
integral raizx^2+2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral raizx^2+2x,dx.
O conteúdo envolvido é integrar funções do tipo raizpolinômio de 2º grauôº. Vamos usar as etapas de completar o quadrado e em seguida aplicar a fórmula padrão para
integral raizu^2-a^2,du.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado em x^2+2x. Observamos que
x^2+2x = (x+1)^2-1

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x+1, du = dx,
para reescrever a integral em função de u. Assim,
integral raizx^2+2x,dx = integral raizu^2-1,du

Passo 4

Sabemos que, para a>0,
integral raizu^2-a^2,du = u2raizu^2-a^2 - a^22lnl|u + raizu^2-a^2r| + C
No nosso caso, a=1.

Passo 5

Aplicando essa fórmula com a=1, obtemos
integral raizu^2-1,du = u2raizu^2-1 - 12lnl|u + raizu^2-1r| + C
Voltando para x pela relação u=x+1, a primitiva fica
x+12raizx^2+2x - 12lnl|x+1 + raizx^2+2xr| + C

Resposta

x+12raizx^2+2x - 12lnl|x+1 + raizx^2+2xr| + C

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