Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. Se a integral convergir determine seu valor.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício pede. Temos que avaliar a integral de
a
da função
em relação a
. Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre integrais impróprias e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, observamos que a integral vai de
a
, o que a torna uma integral imprópria. Para verificar a convergência, vamos calcular o limite dessa integral quando o limite superior tende ao infinito. Isso significa que vamos avaliar:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral indefinida de
em relação a
. Podemos separar a integral em duas partes:
Sabemos que:
Para a segunda parte,
, usamos a técnica de integração por partes. Seja
e
, o que dá
e
. Aplicando a integração por partes:
Portanto, juntando tudo:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de
a
e depois fazemos
tender ao infinito:
Sabemos que
tende a
quando
tende ao infinito, e
também tende a
porque a função exponencial decai mais rápido que o termo linear cresce. Portanto:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.