Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. Se a integral convergir determine seu valor.
integral0^infty(1+2 x) e^-x d x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício pede. Temos que avaliar a integral de 0 a infty da função (1 + 2x) e^-x em relação a x . Nosso objetivo é descobrir se essa integral converge (ou seja, se ela tem um valor finito) ou diverge. Se ela convergir, também vamos calcular o valor dessa integral. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos sobre integrais impróprias e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que a integral vai de 0 a infty , o que a torna uma integral imprópria. Para verificar a convergência, vamos calcular o limite dessa integral quando o limite superior tende ao infinito. Isso significa que vamos avaliar:
integral0^infty (1 + 2x) e^-x dx = limb to infty integral0^b (1 + 2x) e^-x dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral indefinida de (1 + 2x) e^-x em relação a x . Podemos separar a integral em duas partes:
integral (1 + 2x) e^-x dx = integral e^-x dx + 2 integral x e^-x dx
Sabemos que:
integral e^-x dx = -e^-x + C
Para a segunda parte, integral x e^-x dx , usamos a técnica de integração por partes. Seja u = x e dv = e^-x dx , o que dá du = dx e v = -e^-x . Aplicando a integração por partes:
integral x e^-x dx = -x e^-x + integral e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C
Portanto, juntando tudo:
integral (1 + 2x) e^-x dx = -e^-x + 2(-x e^-x - e^-x) + C = -(2x + 3) e^-x + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de 0 a b e depois fazemos b tender ao infinito:
limb to infty [ -(2b + 3) e^-b + (2 cdot 0 + 3) e^0 ] = limb to infty [ -(2b + 3) e^-b + 3 ]
Sabemos que e^-b tende a 0 quando b tende ao infinito, e (2b + 3)e^-b também tende a 0 porque a função exponencial decai mais rápido que o termo linear cresce. Portanto:
limb to infty [ -(2b + 3) e^-b + 3 ] = 0 + 3 = 3

Resposta

A integral converge e seu valor é 3 .

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