Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. Se a integral convergir determine seu valor.
Passo 1
O enunciado nos pede para investigar a convergência da integral imprópria
e, se convergir, calcular seu valor. O conteúdo principal envolve integrais impróprias com limite de integração infinito e técnica de integração por partes para encontrar uma primitiva.
Passo 2
Vamos obter uma primitiva de
. Escrevemos
Para a primeira parte,
Para a segunda, usamos integração por partes: seja
,
, então
e
. Assim,
Somando as duas partes,
Portanto, uma antiderivada é
Passo 3
Agora avaliamos o termo geral da integral imprópria:
Em
,
Quando
, temos
e
, de modo que
Logo
Isso mostra que a integral diverge.
Resposta
A integral diverge.