Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. Se a integral convergir determine seu valor.
integral-infty^0(1+2 x) e^-x d x

Passo 1

O enunciado nos pede para investigar a convergência da integral imprópria
integral-infty^0(1+2x)e^-x,dx
e, se convergir, calcular seu valor. O conteúdo principal envolve integrais impróprias com limite de integração infinito e técnica de integração por partes para encontrar uma primitiva.

Passo 2

Vamos obter uma primitiva de (1+2x)e^-x. Escrevemos
integral(1+2x)e^-x,dx = integral e^-x,dx + integral 2x,e^-x,dx
Para a primeira parte,
integral e^-x,dx = -e^-x
Para a segunda, usamos integração por partes: seja u=2x, dv=e^-x,dx, então du=2,dx e v=-e^-x. Assim,
integral 2x,e^-x,dx = -2x,e^-x + integral 2,e^-x,dx = -2x,e^-x -2,e^-x = -2e^-x(x+1)
Somando as duas partes,
integral(1+2x)e^-x,dx = -e^-x -2e^-x(x+1) = -e^-xl(1+2(x+1)r) = -e^-x(3+2x)
Portanto, uma antiderivada é
F(x) = -e^-x(3+2x)

Passo 3

Agora avaliamos o termo geral da integral imprópria:
integral-infty^0(1+2x)e^-x,dx = limato -inftyl[F(0)-F(a)r]
Em x=0,
F(0) = -e^0(3+0) = -3
Quando xto -infty, temos e^-xto +infty e 3+2xto -infty, de modo que
F(x) = -e^-x(3+2x) ;xrightarrow[xto -infty]; +infty
Logo
limato -inftyF(a) = +infty Longrightarrow integral-infty^0(1+2x)e^-x,dx = -3 - (+infty) = -infty
Isso mostra que a integral diverge.

Resposta

A integral diverge.

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